分光エリプソメトリーの概要と関連用語

分光エリプソメトリー(Spectroscopic Ellipsometry: SE)は、入射光と反射光の偏光の変化量を波長ごとに測定し、得られた測定データをもとに光学モデルを作成、フィッティング計算をすることにより薄膜の膜厚($d$)および光学定数（屈折率$n$、消衰係数 $k$）を非破壊、非接触で求める分析手法です。非常に高精度、高感度なため、サンプル表面のラフネスや界面の状態など、バルクや薄膜に関する多くの情報を得ることが可能です。この分析手法を用いる装置を分光エリプソメーター(Spectroscopic Ellipsometer)といいます。

白色光を直線偏光にして斜めからサンプルに照射すると、その反射光は一般に楕円偏光に変わります。分光エリプソメトリーはサンプル構造を反映した偏光状態の変化を、光の波長ごとに検出します（図１）。

表１：膜厚測定方法の比較

私たちの身の回りにある光は、電気的、磁気的な性質を持つ電磁波の一種であることが、マクスウェルによって示されております。屈折率はこの光（電磁波）が物質中を伝わる速さを表す値です。屈折率は以下の式で定義されます。 

$n = c / v$      （1） 

ここで$c$と$v$はそれぞれ、真空中、物質中の光の速度です。屈折率が大きい材料ほど物質中での光の速度が遅くなります。空気中の光の速度は真空中とほとんど変わらず屈折率は１.0003であり、およそ1と表すことが出来ます。光が真空（空気）から物質に侵入した場合、図3で示すように光の波長$\lambda$は$\lambda/n$と変化します。

物質に吸収がある場合は屈折率nを複素屈折率$N$として、虚数部に吸収を表す消衰係数$k$ を導入し、以下のように表します。

$N(\lambda) = n(\lambda) - ik(\lambda)$　（2） 

ここで$N$の実数部$n$と虚数部$k$を光学定数とも言います。$n(\lambda)$と$k(\lambda)$は波長あるいはエネルギーによって値が異なります。

吸収が無い物質（$k=0$）の場合、物質内で光の振幅は変わりませんが（図3）、吸収がある物質（$k>0$）の場合、図4で示すように光の振幅は物質内で減衰していきます。

物質内の吸収による光の強度の変化は、以下のベールの法則によって示されます。

$I = I_0 exp(-αx)$         （3）

$I$と$I_0$はそれぞれ、物質中、空気中の光の強度、$\alpha$は吸収係数、$x$は物質の表面からの距離になります。ここで$​\alpha_x=1$となる$x$の位置、すなわち $\alpha$の逆数$(^1/_\alpha)$ は光の侵入深さと言います。また吸収係数 $\alpha$と消衰係数kの間には、以下の関係があります。

$α = 4πk / λ$               （4）

吸収係数 $\alpha$を求める手法としてよく用いられているのが、吸収率より計算する方法です。物質に光を照射すると、光は透過、反射、吸収の3つに分かれます。入射光強度に対する透過、反射、吸収への光強度の割合を透過率$T$、反射率$R$ 、吸収率$A$ といい、以下の関係が成り立ちます。

$T + R + A = 1$               （5）

この吸収率$A$ より吸収係数  $\alpha$が計算されます。

$A = exp(-αx)$          （6）

この方法は主にガラスなどの透明材料や、吸収があっても十分薄い（半透明）バルクサンプルで用いられています。しかし、測定波長範囲において完全に不透明なバルクサンプル（金属やSiウェハなど）では光が吸収されてしまうため、透過率測定から吸収係数を求めることはできません。

一方で薄膜サンプルの場合は薄膜で吸収される光の量が非常に少ないため、透過率測定から吸収係数を計算することは難しいです。分光エリプソメトリーは反射による測定、膜の最表面に特に敏感なため、このような薄膜サンプルの吸収係数を求めるのに望ましい装置だと言えます。

サンプルの表面に光を照射すると、反射光の強さは屈折率によって変わります。例えば、金属やSiウェハなどの屈折率が大きい材料は、表面からの反射光の強度は高くなり、ガラスなどの屈折率が低い材料は、反射光強度が小さくなります。垂直方向から光を照射したときの反射率$R$と、複素屈折率$N$の間には以下の関係があります。

 $R=\begin{vmatrix} {N_0-N_1 \over N_0+N_1} \end{vmatrix}$　（7）

ここで$N_0$と$N_1$はそれぞれ、周辺媒質、材料の複素屈折率です。ほとんどの場合、周辺媒質は空気であり$N_0$の屈折率$n$は1、消衰係数$k$は0となりますので、式(7)は以下の式に展開できます。

$R = { (n-1)^2+k^2 \over (n+1)^2+k^2}$ （8）

ここで$n$は材料の屈折率、$k$は材料の消衰係数です。また、$k=0$の場合は以下の式になります。

$R = { (n-1)^2 \over (n+1)^2}$         （9）

このように、材料の屈折率はサンプル表面、あるいは界面での光（電磁波）の挙動に大きな影響を与えます。

誘電率は物質に外部から電場を与えたときに、物質中の原子がどのように応答するかを表す値であり、物質の電気的特性を示します。誘電率と屈折率の間には関係があることから、物質に光（電磁波）を照射すれば、誘電応答により屈折率がわかります。電磁波全般として考えると、屈折率は以下の式で表されます。

$n = { \sqrt{εμ/ε_0μ_0} }$          （10）

ここで、$\varepsilon$と$\varepsilon_0$はそれぞれ、物質中、真空中の誘電率、$\mu$と$\mu_0$はそれぞれ、物質中、真空中の透磁率です。通常、分光エリプソメトリーで測定する近赤外～可視～紫外の波長においては、$\mu$の値は$\mu_0$とほぼ一致するので、この波長領域では屈折率$n$は以下の式になります。

$n = { \sqrt{ε/ε_0} }$          （11）

誘電率も屈折率と同様、物質に吸収がある場合、複素誘電関数$E$として表すことができます。このとき、複素屈折率$N$との関係は以下のようになります。

$N = { \sqrt{E} }$          （12）

$N^2 =E =_{ε1 + iε2}$       （13）

ここでε₁は複素誘電関数の実数部、$\varepsilon_1$は虚数部です。$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$と屈折率$n$、消衰係数$k$は以下の関係を持ちます。

$ε_1 =n^2 – k^2$       （14）

$ε_2 =2nk$       （15）

またk=0の場合、 $\varepsilon_1$ 、$\varepsilon_2$と屈折率$n$は以下の関係となります。

$ε_1 = n^2$                 （16）

$ε_2 = 0$                  （17）

太陽や蛍光灯などの光は、360度あらゆる方向に振動しています。これに対し、特定の方向に振動している光を偏光といいます。偏光状態は電場の直行する2つの成分の振幅と位相差によって決まり、図4のとおり3つの種類があります。